VM i fotball 2006

English | Norsk Regnesentral | SAMBA-gruppa

Hovedside: Hvem vinner? | Videregående spill | Metodikk

Vi har vel alle en ide om at i en kamp mellom Japan og Brasil, vil det være større sjanse for at Brasil vinner enn at Japan vinner. Vi ønsker å formalisere slike betraktninger, slik at vi ved hjelp av en statistisk modell kan anslå sannsynligheten for H, U og B i enhver kamp, og faktisk også sannsynligheten for ethvert mulig resultat (0-0, 1-0, osv. har hver sin sannsynlighet). Ethvert lag tilordnes et styrketall, og ut fra styrketallene til to lag som møtes, skal en kunne avlese sannsynligheten for H, U og B. Styrketallene vil være noe a la FIFA-rankingen, men vil være mer direkte relatert til utfallet av enkeltkamper. Før VM begynner fastsettes disse styrketallene ut fra ekspertvurderinger fra Aftenpostens sportsjournalister og andre norske fotballeksperter. Etter hvert som det spilles kamper i VM oppdateres styrketallene, slik at etterhvert bestemmes styrketallene mer og mer ut fra de spilte kampene, og mindre og mindre ut fra de opprinnelige eksperttipsene. Eksempelvis vil Brasil i utgangspunktet ha et bedre styrketall enn Japan, men hvis Brasil taper den første kampen, mens Japan vinner, vil dette justeres noe i Japans favør. Dog kan vi i modellen ikke ta hensyn til detaljer, som f. eks. at Ronaldinho er skadet, eller at både Japan og Brasil er klare for 8.-delsfinale før de spiller siste kamp mot hverandre i gruppespillet.

Modell

Antall skårede mål til hvert av de to lagene i en kamp er avhengig av hvor gode de to lagene er i forhold til hverandre. Samtidig vil det i noen grad være tilfeldig hvor mange mål hvert lag skårer. La oss ta for oss en kamp hvor lag A møter lag B. I vår modell er antall mål som lag A skårer Poissonfordelt med parameter, dvs. et tall, L(A,B). Dette vil si at vi kan forvente at lag A skårer omtrent L(A,B) mål mot lag B. Her er

L(A,B) = "Normalt antall mål" x ("Styrketall lag A")/("Styrketall lag B").

"Normalt antall mål" er en parameter (et tall) som angir hvor mange mål et lag typisk vil skåre i en kamp mellom to jevngode motstandere. "Styrketall lag A" er en parameter (et tall) som angir hvor godt lag A er, mens "Styrketall lag B" angir hvor godt lag B er. Styrketallet til Tyskland er fastsatt til 100, og styrketallene til de andre lagene må ses relativt til dette.

Tilsvarende er antall mål til lag B Poissonfordelt med parameter L(B,A). Utover dette antar vi uavhengighet mellom antall skårede mål til hvert av lagene.

Dette betyr at om lag A har et høyt styrketall i forhold til lag B, vil vi forvente at lag A skårer mange mål (fordi L(A,B) er stor) og lag B få mål (fordi L(B,A) er liten). Det vil i så fall være størst sannsynlighet for at lag A vinner kampen, men det vil også være en viss sannsynlighet for uavgjort eller at lag B vinner.

Modellen vi har valgt er enkel, og dekker selvsagt ikke alle viktige aspekter ved en fotballkamp. I VM vil vi ha få relevante data til å estimere parameterne i en modell, og vår relativt enkle modell med få parametre er valgt i henhold til dette. I andre sammenhenger med mer data, f. eks. seriespill over en hel sesong, kan man tenke seg en rekke utvidelser av modellen. Dette inkluderer

- hjemmebanefordel
- en forsvarsstyrke og en angrepsstyrke til hvert lag
- styrken til hvert lag varierer over sesongen (formutvikling)
- antall skårede mål til de to lagene i en kamp er korrelert

I de seinere åra er det publisert flere artikler om dette emnet i den statistiske litteraturen. En passende, og lettlest introduksjon er Lee, A. (1997), "Modeling Scores in the Premier League: Is Manchester United Really the Best?", Chance, Vol 10, s. 15-19.

Sannsynligheter for VM, basert på liknende metodikk, presenteres også av DonationCoder.com.

Estimering av modellparametre

Parameterne i modellen er "Normalt antall mål" og styrketallene til de enkelte lag. Disse må estimeres, dvs. tallfestes, før vi kan gjøre sannsynlighetsberegninger. Før VM starter er dette gjort ut fra vurderingene til flere fotballeksperter. Disse vurderingene er "oversatt" til tallverdier på parameterne. Hver av ekspertene har fått angitt en rekke tenkte kamper mellom ulike lag. For hver av de tenkte kampene har ekspertene angitt 3 rimelige resultater for utfallet hvis en slik kamp blir spilt under VM. Dette gir oss et sett med hypotetiske kampresultater, og ut fra dette er parameterne estimert før det er spilt noen kamper.

Etterhvert som kampene i VM-turneringa blir spilt, blir også de virkelige kampene brukt til å estimere parameterne. Informasjonsmengden fra de syntetiske kampene (eksperttipsene) og de virkelige kampene blir vekta i forhold til hverandre, slik at de syntetiske kampene har like stor betydning som 32 virkelige kamper. Det vil si at eksperttipsene har like stor betydning som de virkelige kampene etter at hvert lag har spilt 2 kamper. Når alle lag har flere enn 2 kamper betyr derimot de virkelige kampene mest.

Estimering av parameterne vil si at de tallfestes slik at de passer best mulig til dataene (kampresultatene). I vårt tilfelle estimeres parameterne ved å maksimere en modifisert Poisson-likelihood. Forskjellen fra ordinær Poisson-likelihood er at den er gjort mer robust ved at store seire vektes ned og at det er innført et straffeledd som krymper de individuelle styrketallene mot hverandre.

Estimerte styrketall

Pr. i dag er "Normalt antall mål" estimert til å være 1.01.

De estimerte styrketallene er gjengitt i tabellen til høyre (sortert), sammen med FIFA-rankingen pr. 17. mai 2006. Vi ser at de to kriteriene gir noe ulik rangering av lagene. Dette skyldes for det første at ekspertene har en noe annen vurdering av lagene enn FIFA-rankingen tilsier. For det andre, etterhvert som det spilles kamper vil lag som gjør det godt få høye styrketall, selv om de kanskje har lav FIFA-ranking.

Sideansvarlig: Magne Aldrin

Beregningene er sist oppdatert: juli 08, 2006 22:54

Metodikk

Styrketall og ranking

Lag	Styrke- tall	FIFA- ranking
Brasil	104	827
Tyskland	100	696
Frankrike	96	749
Italia	96	728
Argentina	87	746
England	78	741
Spania	73	756
Portugal	73	750
Sveits	73	648
Nederland	71	768
Mexico	61	758
Sverige	61	709
Tsjekkia	61	772
Ghana	58	600
Australia	57	612
Ecuador	56	631
Sor-Korea	55	677
Kroatia	55	686
Ukraina	54	609
Elfenbenskysten	53	669
Polen	51	677
USA	50	756
Paraguay	50	653
Angola	42	581
Japan	42	705
Serbia-Montenegro	39	610
Togo	39	569
Tunisia	37	693
Iran	37	686
Trinidad-Tobago	36	604
Costa-Rica	36	683
Saudi-Arabia	32	651